Hier sind die Rechnungen zur Lorentztransformation ausgeführt:

Berechnung von $t_E$

Löse Gleichung 1 nach $x_E$ auf:

$\begin{align} && x_R &= x_E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - vt_R \\ \quad\Longrightarrow && x_E &= \frac{\displaystyle x_R+vt_R}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}$

Setze sie mit Gleichung 2 gleich und löse nach $t_E$ auf:

$\begin{align} &&\frac{\displaystyle x_R+vt_R}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= x_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+vt_E \\ \quad\Longrightarrow && x_R+vt_R &= x_R\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+vt_E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \Longrightarrow && vt_E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= x_R+vt_R-x_R+x_R\frac{v^2}{c^2} \\ \Longrightarrow && t_E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= t_R + x_R\frac{v}{c^2} \\ \Longrightarrow && t_E &= \frac{\displaystyle t_R + x_R\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}$

Berechnung von $t_R$

Löse Gleichung 2 nach $x_R$ auf:

$\begin{align} && x_E &= x_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} + vt_E \\ \quad\Longrightarrow && x_R &= \frac{\displaystyle x_E-vt_E}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}$

Setze sie mit Gleichung 1 gleich und löse nach $t_R$ auf:

$\begin{align} &&\frac{\displaystyle x_E-vt_E}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= x_E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-vt_R \\ \quad\Longrightarrow && x_E-vt_E &= x_E\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)-vt_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \Longrightarrow && vt_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= -x_E+vt_E+x_E-x_E\frac{v^2}{c^2} \\ \Longrightarrow && t_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= t_E - x_E\frac{v}{c^2} \\ \Longrightarrow && t_R &= \frac{\displaystyle t_E - x_E\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}$

(Antoine, 30.3.)